Zad. 1. Podaj położenia atomów związanych symetrią osi `L_[bar(1)11]^3` jeżeli jeden z nich ma współrzędne (0.1, 0.4, 0.7)

Odp. Macierz tej osi to:

`[(\ \ \ 0,-1,\ \ \ 0),(\ \ \ 0,\ \ \ 0,\ \ \ 1),(-1,\ \ \ 0,\ \ \ 0)]`

Zgodnie ze schematem:

`[(x'),(y'),(z')]`=`[(\ \ \ 0,-1,\ \ \ 0),(\ \ \ 0,\ \ \ 0,\ \ \ 1),(-1,\ \ \ 0,\ \ \ 0)] * [(x),(y),(z)]`

współrzędne pozostałych dwóch punktów (po jedno- i dwukrotnym zadziałaniu tą macierzą) to:

`[(-0.4),(\ \ \ 0.7),(-0.1)]` i `[(-0.7),(-0.1),(\ \ \ 0.4)]`


Zad. 2. Na podstawie analizy macierzy narysuj na kole projekcji element symetrii odpowiadający złożeniu działań `L{::}_(\z)^6` i `L{::}_(\y)^2` w układzie heksagonalnym.

Odp.
1. Iloczyn macierzy `L{::}_(\z)^6 * L{::}_(\y)^2=`
`[(1/2,-sqrt(3)/2,\ \ \ 0),(sqrt(3)/2,\ \ \ 1/2,\ \ \ 0),(0,\ \ \ 0,\ \ \ 1)] * [(-1,\ \ \ 0,\ \ \ 0),(\ \ \ 0,\ \ \ 1,\ \ \ 0),(\ \ \ 0,\ \ \ 0,-1)] = [(-1/2,-sqrt(3)/2,\ \ \ 0),(-sqrt(3)/2,\ \ \ 1/2,\ \ \ 0),(\ \ \ 0,\ \ \ 0,-1)]`

2. Macierz jest ortogonalna bo `sum_(k=1)^3a_(\ik)*a_(\jk)=delta_(\ij)`:
`(-1/2)^2+(-sqrt(3)/2)^2+0^2=1`
`(-sqrt(3)/2)^2+(1/2)^2+0^2=1`
`(0)^2+(0)^2+(-1)^2=1`
`(-1/2)*(-sqrt(3)/2)+(-sqrt(3)/2)*(1/2)+0*0=0`
`(-1/2)*(0)+(-sqrt(3)/2)*(0)+0*(-1)=0`
`(-sqrt(3)/2)*(0)+(1/2)*(0)+0*(-1)=0`


4. Macierz odpowiada osi zwykłej bo jej wyznacznik wynosi 1:
`Det= (-1/2)*(1/2)*(-1) + (-sqrt(3)/2)*0*0 + 0*(-sqrt(3)/2)*(0) - 0*1/2*0 - (-1/2)*0*0 - (-sqrt(3)/2)*(-sqrt(3)/2)*(-1) =1 `


5. Jest to oś dwukrotna gdyż (na podstawie śladu (charakteru) macierzy) kąt obrotu wynosi 180°:
`chi=-1/2+1/2+(-1)=-1`
`2*cos(phi)+1=-1`
`phi=180°`

6. Kierunek osi obliczony dla układu prostokątnego wynosi `[bar(sqrt(3))30]`:

Do analizy kierunku macierz przekształcamy do postaci:

`[(-1/2-1,-sqrt(3)/2,\ \ \ 0),(-sqrt(3)/2,\ \ \ 1/2-1,\ \ \ 0),(\ \ \ 0,\ \ \ 0,-1-1)]`

Obliczamy kosinusy kierunkowe z drugiego wiersza:

`C_1=(-1)^(2+1)*|(-sqrt(3)/2,\ \ \ 0),(\ \ \ 0,-2)|=-sqrt(3)`

`C_2=(-1)^(2+2)*|(-3/2,\ \ \ 0),(\ \ \ 0,-2)|=3`

`C_3=(-1)^(2+3)*|(-3/2,-sqrt(3)/2),(\ \ \ 0,\ \ \ 0)|=0`

Po pomnożeniu przez `1/(2*sqrt(3)` z tabeli wartości funkcji sinus i kosinus
odczytujemy kąty pomiędzy szukanym kierunkiem a osiami prostokątnego (obliczeniowego) układu współrzędnych: `alpha_x=120°`, `alpha_y=30°`, `alpha_z=90°`


7. Znalezionym elementem symetrii jest `L{::}_(\bar(sqrt(3))30)^2`.
Odmierzenie znalezionych kątów od prostokątnych osi x i y daje dwa rowiązania
ale na podstawie współrzędnych punktu `(-sqrt(3),3,0)=>(-0.57,1,0)` wybieramy jedno z nich:

y x obliczeniowy
8. W układzie heksagonalnym jest to kierunek `[1 bar(1) 0]` (tzw. `x bar(y)`):


x y 0,0 -1
Czyli jest to oś`L{::}_(\1 bar(1) 0)^2` (inaczej `L{::}_(\x bar(y))^2`).


Zad. 3. Narysuj na kole projekcji oś `L{::}_(\120)^2` i prostopadłą do niej płaszczyznę w układzie heksagonalym.


Odp.
Znajdujemy w układzie heksagonalnym kierunek [120]:
y x 1 2


i na tej podstawie oś `L{::}_(\120)^2` i płaszczyznę do niej prostopadłą na kole projekcji zaznacza się tak:

y x