współrzędne pozostałych dwóch punktów (po jedno- i dwukrotnym zadziałaniu tą macierzą) to:
`[(-0.4),(\ \ \ 0.7),(-0.1)]` i `[(-0.7),(-0.1),(\ \ \ 0.4)]`
Zad. 2. Na podstawie analizy macierzy narysuj na kole projekcji element symetrii odpowiadający złożeniu działań `L{::}_(\z)^6` i `L{::}_(\y)^2` w układzie heksagonalnym.
2. Macierz jest ortogonalna bo `sum_(k=1)^3a_(\ik)*a_(\jk)=delta_(\ij)`:
`(-1/2)^2+(-sqrt(3)/2)^2+0^2=1`
`(-sqrt(3)/2)^2+(1/2)^2+0^2=1`
`(0)^2+(0)^2+(-1)^2=1`
`(-1/2)*(-sqrt(3)/2)+(-sqrt(3)/2)*(1/2)+0*0=0`
`(-1/2)*(0)+(-sqrt(3)/2)*(0)+0*(-1)=0`
`(-sqrt(3)/2)*(0)+(1/2)*(0)+0*(-1)=0`
4. Macierz odpowiada osi zwykłej bo jej wyznacznik wynosi 1:
`Det=
(-1/2)*(1/2)*(-1)
+
(-sqrt(3)/2)*0*0
+
0*(-sqrt(3)/2)*(0)
-
0*1/2*0
-
(-1/2)*0*0
-
(-sqrt(3)/2)*(-sqrt(3)/2)*(-1)
=1
`
5. Jest to oś dwukrotna gdyż (na podstawie śladu (charakteru) macierzy) kąt obrotu wynosi 180°:
`chi=-1/2+1/2+(-1)=-1`
`2*cos(phi)+1=-1`
`phi=180°`
6. Kierunek osi obliczony dla układu prostokątnego wynosi `[bar(sqrt(3))30]`:
Do analizy kierunku macierz przekształcamy do postaci:
Po pomnożeniu przez `1/(2*sqrt(3)` z tabeli wartości funkcji sinus i kosinus
odczytujemy kąty pomiędzy szukanym kierunkiem a osiami prostokątnego (obliczeniowego) układu współrzędnych: `alpha_x=120°`, `alpha_y=30°`, `alpha_z=90°`
7. Znalezionym elementem symetrii jest `L{::}_(\bar(sqrt(3))30)^2`.
Odmierzenie znalezionych kątów od prostokątnych osi x i y tak by się zbiegły w jednym punkcie
[tak samo na podstawie współrzędnych punktu `(-sqrt(3),3,0)=>(-0.57,1,0)`] daje rozwiązanie:
8. W układzie heksagonalnym jest to kierunek `[1 bar(1) 0]` (tzw. `x bar(y)`):
Czyli jest to oś`L{::}_(\1 bar(1) 0)^2` (inaczej `L{::}_(\x bar(y))^2`) W symbolice międzynarodowej 2 || `[1 bar(1) 0]`.
Zad. 3. Narysuj na kole projekcji oś `L{::}_(\120)^2` i prostopadłą do niej płaszczyznę w układzie heksagonalym.
Odp. Znajdujemy w układzie heksagonalnym kierunek [120]:
i na tej podstawie oś `L{::}_(\120)^2` i płaszczyznę do niej prostopadłą na kole projekcji zaznacza się tak: